Modelo de Lack¶
El modelo del proceso de extracción supercritica parte de las ecuaciones de tranferencia de masa para describir la difusión del componente de interes dentro de una matriz vegetal como se muestra en la ecuación 9
Ecuación de tranferencia de masa
\begin{equation}
p_{f} E \frac{\partial y}{\partial t}+ p_{f} U\frac{\partial y}{\partial h} = J(x,y)
\end{equation}
en los trabajos de Sovova [], se desarrolló el tema de la manipulación de la ecuación de transferencia de masa para obtener una solución análitica de este modelo, dando lugar a una función definida por partes para describir la cinética del rendidmiento de extracción, tal como se muestra en las ecuaciones (2)- (6)
\begin{equation}
\tau_{1} = \frac{x_o-x_k}{yAy_r}
\end{equation}
\begin{equation}
\tau_{2} = \tau_{1} + \frac{xk}{\gamma A y_r}ln \left( \frac{x_k}{x_o} + \left( 1- \frac{x_k}{x_o}\right) e^\frac{x_oA}{x_k} \right)
\end{equation}
\begin{equation}
z_{k} = \frac{x_k}{Ax_o} ln \frac{(x_o e^\frac{y A y_r}{x_k} (\tau-\tau_1) - x_k)}{x_o-x_k}
\end{equation}
\begin{equation}
s_1 = \gamma A y_r \tau e^{(-Az)}
\end{equation}
\begin{equation}
s_2 = (x_o - x_k) e^{(-A(z - z_k))}
\end{equation}
\begin{equation}
s_3 = 1 + \left( \frac{x_o}{x_k} e^{\left( \frac{\gamma Ay_r(\tau-\tau_1)} {x_k} \right)}-1 \right) e^{\left( \frac{-x_oAz} {x_k} \right)}
\end{equation}
\begin{equation}
x(\tau,z) =
\begin{cases}
x_o - s_1 & \tau \leq \tau_1\\
x_o - s_2 & \tau > \tau_1, z \geq z_k \\
\frac{x_o}{s_3} & \tau > \tau_1, z<z_k
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
u = 1 + \frac{x_k}{x_o} \left( e^\frac{x_oA}{x_k} - 1 \right)
\end{equation}
\begin{equation}
e =
\begin{cases}
\gamma y_r \tau (1- e^{(-A)} & \tau \leq \tau_1\\
\gamma y_r (\tau - \tau_1 e^{(-A(1 - z_k))} & \tau_1 < \tau \leq \tau_2\\
x_o - \frac{x_k}{A}ln(u) e^\frac{yAy_r}{x_k}(\tau_1 - \tau) & \tau \geq \tau_2
\end{cases}
\end{equation}
Nomenclatura¶
- \(a_0\) Surface, \(\frac{m^2}{m^3}\)
- A : (=tr /tf ), inverse de l’effet de transfert de masse de la phase fluide sur le taux d’extraction
- e : rendement de l’extraction, kg kgfeed−1
- h : coordonnée axiale le long du lit d’extraction, m
- H : hauteur du lit d’extraction, m
- J : taux du transfère de matière, kg m−3 s−1
- \(k_{f}\): coefficient de transfère de matière phase liquide , m s−1
- \(k_{s}\): coefficient de transfère de matière phase solide, m s−1
- K : coefficient de partition, kgfeed kgCO2−1
- n : nombre de mélangeur
- q : (=q’t), rapport solvant-alimentation, kgCO2 kgfeed−1
- q’: débit spécifique, kgCO2 s−1 kgfeed−1
- t : durée de l’extraction, s
- \(t_{f}\): (=E/kf a0), temps caractéristique de transfert de matière dans le fluide, s
- \(t_{r}\): temps de résidence, s
- \(t_{s}\): (= (1-E)/kf a0), temps caractéristique de diffusion interne,s
- U : vélocité superficielle, m s−1
- v : facteur de taux de transfert de matière dans le modèle de Lack
- x : contenu de l’extrait dans la phase solide, kg kgsolid−1
- \(x_{d}\): teneur critique de l’extrait dans la phase solide
- \(x_{B}\): contenu de l’extrait au sein des cellules brisées,
- \(k_{g}\): kgsolid−1
- \(x_{I}\): contenu de l’extrait au sein des cellules intactes,
- \(k_{g}\) : kgsolid−1
- \(x_{k}\) : contenu minimal de l’extrait dans la phase solide pour lequel y+ = yr , kg kgsolid−1
- \(x_{u}\): contenu de l’extrait dans les particules placées dans le réacteur , kg kgsolid−1
- \(x_{uI}\) : contenu de l’extrait dans les cellules intactes,kg kgsolid−1
- y :contenu de l’extrait dans la phase liquid, kg kgCO2−1
- \(y_{eq}\): concentration de la phase liquide à l’équilibre, kg kgCO2−1
- \(y_{r}\): solubilité de l’extrait dans le CO2, kg kgCO2−1
- z :(h/H), coordonnée axiale sans dimension
- \(z_{k}\):coordonnée axiale sans dimension où x = xk
- ε : porosité du lit (degré de vide)
- gamma : Rapport massique du CO2 dans le volume de vide du lit d’extraction, kgCO2 kgfeed−1
- \(p_{f}\): densité du CO2, kgCO2 m−3
- \(p_{s}\): densité des particules, kg m−3
- tao: (=t/tr ),temps (sans unité)